Résolvez le triangle isocèle étant donné la longueur de ses trois côtés : 8, 8 et 10. Calculatrice de triangle : angles, surface, (semi)périmètre, hauteurs, médianes, rayons des cercles

Calculer les angles et l'aire du triangle, le (semi)périmètre, les trois hauteurs et médianes et les rayons des cercles inscrits et circonscrits du triangle


  • Le triangle donné est résolu ci-dessous étape par étape, avec des explications complètes des formules utilisées, des explications claires sur les termes utilisés et des images illustratives.
  • À la fin, toutes les données calculées du triangle sont résumées dans une seule section.
  • L'ordre des étapes de résolution du triangle : 1) calcul du périmètre, 2) le demi-périmètre, 3) les mesures des angles, 4) l'aire - calculée par deux méthodes, 5) les longueurs des trois hauteurs du triangle, 6) les longueurs des trois médianes du triangle, 7) le rayon du cercle inscrit et 8) le rayon du cercle circonscrit.

Cas particulier. Triangle isocèle

  • C'est un triangle isocèle, deux de ses trois côtés ont des longueurs égales.
  • Les mesures des deux angles opposés aux côtés d'égales longueurs sont également égales entre elles.

2. Calculer le demi-périmètre, s = (a + b + c) / 2

Divisez le périmètre par 2.

  • s =
  • (8 + 8 + 10) / 2 =
  • 26 / 2 =
  • 13

3. Calculez les mesures des angles du triangle

  • Définitions

  • Définition 1 : Le cosinus - Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle représente le rapport du côté adjacent à l'angle à l'hypoténuse.
  • cos(∠A) = c/b
  • Cosinus et arccosinus

    Cosinus et arccosinus

  • Définition 2 : Arccos (l'arccosinus) - C'est l'inverse de la fonction mathématique cosinus standard. Alors que la fonction cosinus prend un angle et renvoie le rapport correspondant, l'arccos prend un rapport et renvoie l'angle correspondant.
  • Puisque cos et arccos sont des fonctions inverses, arccos(cos(∡A)) = ∡A; si l'on applique la fonction arccos à l'égalité ci-dessus :
  • cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
  • ∡A = arccos(c/b) =>
  • arccos(c/b) = mesure de l'angle ∡A

  • Exemples de calculs

  • Exemple 1 : Calcul du cosinus
  • Dans un triangle rectangle qui a la mesure de l'angle ∡B = 90°, la longueur du côté b = 10 et la longueur du côté c = 6, le cosinus de l'angle ∠A est calculé comme :
  • cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6.
  • Exemple 2 : Calcul de l'arc cosinus 
  • Dans un triangle rectangle qui a la mesure de l'angle ∡B = 90°, la longueur du côté b = 10 et la longueur du côté c = 6, la mesure de l'angle ∡A est calculée comme suit :
  • arccos(cos(∠A)) = mesure de l'angle ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0.6) = 53,1301024° ≈ 53,13°.

Pour calculer les mesures des angles, utilisez les trois formules ci-dessous.

Ces formules sont dérivées de la loi du cosinus (le théorème d'Al-Kashi, ou du théorème de Pythagore généralisé).


  • m(∡A) = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • m(∡C) = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Où :
  • a = le côté du triangle opposé à l'angle ∠A
  • b = le côté du triangle opposé à l'angle ∠B
  • c = le côté du triangle opposé à l'angle ∠C

  • Pourquoi cette formule ? Preuve de la loi du cosinus

  • Dans tout triangle △ABC, qui n'est pas rectangle, de longueurs de côtés BC = a, AC = b et AB = c, on trace du sommet A la perpendiculaire au côté BC, qui coupe BC au point D. On note les longueurs des côtés AD = ha, BD = a1 et CD = a2, où a1 + a2 = a.
  • Preuve de la loi du cosinus

    Preuve de la loi du cosinus

  • Dans le triangle rectangle △ABD nous avons les relations trigonométriques suivantes :
  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • Dans le triangle rectangle △ADC on applique le théorème de Pythagore :
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Remplacez ha et a1 dans la formule ci-dessus :
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • Dans le triangle rectangle △ABD ha2 + a12 = c2 (théorème de Pythagore) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Appliquez la fonction arccos aux deux côtés de l'égalité :
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • Le même processus est utilisé pour calculer les mesures des angles ∠A et ∠C.

  • Les trois dernières définitions : π. Radians. Degrés

  • Définition : π représente le rapport constant de la circonférence d'un cercle, C, à son diamètre, d (d = 2 × r, où r est le rayon du cercle), qui est d'environ 3,14159, communément estimé comme la fraction 22/7.
    π = C/d = C/(2 × r)
  • Mesure des angle : π. Radians. Degrés

    Mesure des angle : π. Radians. Degrés

  • Définition : Un radian est une unité standard de mesure d’angle. Un radian est égal à l'angle formé lorsque la longueur de l'arc de cercle est égale au rayon de ce même cercle. Il y a exactement 2π radians dans la circonférence (la longueur) d'un cercle (n'importe quel cercle). 1 radian équivaut à environ 57,296° (degrés). Un angle de 360° = 2π radians, 180° = π radians, 90° = π/2 radians, 45° = π/4 radians.
  • Définition : Les angles sont généralement mesurés en degrés (°). Un degré est une unité standard de mesure d’angle. L'angle formé par un cercle complet est de 360°. Un angle obtus est compris entre (90° et 180°). Un angle droit est de 90°. Un angle aigu est compris entre (0° et 90°).

Calculez la mesure de l'angle ∠A

  • m(∡A) =
  • arccos((82 + 102 - 82) / (2 × 8 × 10)) =
  • arccos((64 + (10 + 8) × (10 - 8))) / 160) =
  • arccos((64 + 18 × 2)) / 160) =
  • arccos((64 + 36)) / 160) =
  • arccos(100/160) =
  • arccos(0,625) =
  • 0.89566479385787 radians =
  • (0.89566479385787 radians × 360 degrés) / (2 × π radians) =
  • (0.89566479385787 × 180 degrés) / π =
  • 51.317812546511 degrés =
  • 51 degrés, 19 minutes et 4.13 secondes

Calculez la mesure de l'angle ∠B

  • m(∡B) =
  • arccos((82 + 102 - 82) / (2 × 8 × 10)) =
  • arccos((64 + (10 + 8) × (10 - 8))) / 160) =
  • arccos((64 + 18 × 2)) / 160) =
  • arccos((64 + 36)) / 160) =
  • arccos(100/160) =
  • arccos(0,625) =
  • 0.89566479385787 radians =
  • (0.89566479385787 radians × 360 degrés) / (2 × π radians) =
  • (0.89566479385787 × 180 degrés) / π =
  • 51.317812546511 degrés =
  • 51 degrés, 19 minutes et 4.13 secondes

Calculez la mesure de l'angle ∠C

  • m(∡C) =
  • arccos((82 + 82 - 102) / (2 × 8 × 8)) =
  • arccos((64 + (8 + 10) × (8 - 10))) / 128) =
  • arccos((64 + 18 × - 2)) / 128) =
  • arccos((64 + - 36)) / 128) =
  • arccos(28/128) =
  • arccos(0,21875) =
  • 1.3502630658741 radians =
  • (1.3502630658741 radians × 360 degrés) / (2 × π radians) =
  • (1.3502630658741 × 180 degrés) / π =
  • 77.364374906981 degrés =
  • 77 degrés, 21 minutes et 51.75 secondes

Vérifiez que la somme des angles ∡A + ∡B + ∡C = 180°

  • ∡A = 51.317812546511°
  • ∡B = 51.317812546511°
  • ∡C = 77.364374906981°

Remarque : La somme des angles est d'environ 180° au lieu d'exactement 180°. En effet, nous avons effectué des calculs qui nécessitaient des arrondis : calculer les arccos et convertir les radians en degrés.


  • m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) =
  • 51.317812546511° + 51.317812546511° + 77.364374906981° =
  • 180.000000000003° ≈ 180°

4.1. Calculer l'aire du triangle

Méthode 1. Plus longtemps

  • Cette méthode nécessite plus d'étapes pour arriver au résultat que la seconde.
  • En théorie, les deux formules de calcul aboutiront exactement au même résultat. Mais en pratique, lorsqu'on utilise des outils de calcul qui impliquent des arrondis et des approximations, il est préférable d'utiliser la méthode de calcul qui implique moins d'étapes et moins d'approximations.
  • Cette méthode est présentée ici à des fins démonstratives, nous calculerons la surface en utilisant la deuxième méthode, qui implique moins d'étapes et moins d'approximations.

  • La formule classique :

  • Aire = 1/2 × a × ha
  • Où :
  • a = le côté du triangle opposé à l'angle ∠A
  • ha = la hauteur AD du sommet A au côté "a" (BC), où D appartient à la ligne contenant le segment BC.
  • La hauteur ha exprimée en fonction du côté

    La hauteur ha exprimée en fonction du côté "b" et du sinus de l'angle C

  • == Mais nous ne connaissons pas la hauteur ha. Comment procédons-nous ? ==
  • Par trigonométrie, dans le triangle rectangle △ADC (∡D = 90°), formé à droite de la hauteur ha:
  • sin(∠C) = ha / b
  • Il s'ensuit que ha = b × sin(∠C).
  • Remplacez la hauteur ha dans la formule classique de l'aire et obtenez :

  • Formule trigonométrique :

  • Aire = 1/2 × a × b × sin(∠C)

Calculer l'aire du triangle

  • Aire =

  • 1/2 × a × b × sin(∠C) =
  • 1/2 × 8 × 8 × sin(77.364374906981 degrés) =
  • 1/2 × 8 × 8 × sin(1.3502630658741 radians) ≈
  • 32 × 0,97578093725 =
  • 31,224989992 ≈
  • 31,22 unités carrées

Remarque : L'aire sera calculée en utilisant la 2ème méthode, qui implique moins d'étapes et d'approximations.



4.2. Calculer l'aire du triangle

Méthode 2. Plus court

  • Formule du Héron

  • Étant donné les longueurs de ses trois côtés, l'aire d'un triangle peut être calculée à l'aide de la Formule du Héron :
  • Aire2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Où :
  • a, b et c sont les longueurs des trois côtés du triangle
  • s est le demi-périmètre du triangle, déjà calculé ci-dessus

  • Preuve pythagoricienne étape par étape de la formule de Heron

  • Considérons un triangle △ABC avec ses côtés BC = a, AC = b et AB = c. Tracez la hauteur du sommet A, opposé au côté "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h. Ad divise la base "a" en deux segments, BD = x et CD = a - x.
  • Le triangle △ABC pour la Formule du Héron

    Le triangle △ABC pour la Formule du Héron

  • Appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle △ADB:
  • h2 + x2 = c2 =>
  • h2 = c2 - x2
  • Appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle △ADC:
  • h2 + (a - x)2 = b2 =>
  • h2 = b2 - (a - x)2
  • Égalez les deux expressions pour h2 et résolvez pour le segment "x" :
  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2 <=>
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2) <=>
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2 <=>
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x <=>
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2 <=>
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)
  • Remplacez "x" dans la formule de h2 et calculez la hauteur "h" :
  • h2 = c2 - x2 <=>
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • Décomposez l'expression en facteurs en utilisant la règle de la différence des carrés, c2 - x2 = (c - x) × (c + x):
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2 <=>
  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2
  • Remplacez h2 dans la formule de l'aire du triangle :
  • Aire = 1/2 × a × h => Aire2 = 1/4 × a2 × h2 =>
  • Aire2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2) <=>
  • [1] Aire2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
  • Utilisez le demi-périmètre s = (a + b + c)/2 pour exprimer les facteurs de la formule [1] ci-dessus :
  • => a + b + c = 2 × s
  • => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
  • Réécrire la formule [1] :
  • Aire2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
  • Aire2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Formule du Héron

Calculer l'aire du triangle

  • Aire2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 13 × (13 - 8) × (13 - 8) × (13 - 10) =
  • 13 × 5 × 5 × 3 =
  • 975

Aire ≈ 31,224989991992 ≈ 31,22 unités carrées

5. Calculer les trois hauteurs du triangle

  • Définition : La hauteur d'un triangle est un segment de droite tiré d'un sommet, perpendiculaire (à un angle de 90 degrés) au côté opposé. Chaque triangle a trois hauteurs. Les trois hauteurs se croisent toujours en un seul point, appelé orthocentre.
  • Les trois hauteurs du triangle

    Les trois hauteurs du triangle

  • Dans le triangle △ABC ha est la hauteur à partir du sommet A, perpendiculaire au côté BC, ha ⊥ BC. hb est la hauteur à partir du sommet B, perpendiculaire au côté AC, hb ⊥ AC. hc part du sommet C, perpendiculaire au côté AB, hc ⊥ AB. Ils se coupent tous au point H, l'orthocentre.
  • Connaissant l\aire et les côtés du triangle, nous pouvons calculer les hauteurs ha, hb et hc depuis les sommets A, B et C jusqu'aux côtés a, b et c respectivement.
  • Partant de la formule classique de superficie :
  • Aire = 1/2 × a × ha =>
  • ha = 2 × Aire / a = 7,806247497998 ≈ 7,81
  • Aire = 1/2 × b × hb =>
  • hb = 2 × Aire / b = 7,806247497998 ≈ 7,81
  • Aire = 1/2 × c × hc =>
  • hc = 2 × Aire / c ≈ 6,244997998398 ≈ 6,24

6. Calculer les longueurs des trois médianes du triangle

  • Définition : Une médiane d'un triangle est un segment de droite reliant un sommet du triangle au milieu du côté opposé. Chaque triangle a trois médianes qui se rejoignent en un seul point central, appelé le centre de gravité.
  • Les trois médianes du triangle

    Les trois médianes du triangle

  • Dans le triangle △ABC ma est la médiane reliant le sommet A au milieu du côté BC, mb est la médiane reliant le sommet B au milieu du côté AC et mc est la médiane reliant le sommet C au milieu du côté AB. Ils se coupent tous au point G, le centre de gravité.
  • Le centre de gravité G divise les longueurs des trois médianes comme suit :
  • AG/AM = BG/BP = CG/CN = 2/3
  • GM/AM = GP/BP = GN/CN = 1/3
  • GM/AG = GP/BG = GN/CG = 1/2

  • Théorème d'Apollonius

  • == Démonstration du théorème d'Apollonius à la fin de la section.. ==
  • Dans un triangle △ABC, pour lequel on connaît les longueurs des côtés "a", "b" et "c", ayant respectivement les sommets opposés A, B et C, il y a la relation entre les longueurs des côtés et les longueurs des médianes ma, mb et mc, où ma va du sommet A au côté "a", médian mb va du sommet B au côté "b", et mc va du sommet A au côté "c":
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 = (b2 + c2)/2 - (a/2)2= 66 =>
  • La médiane ma ≈ 8,124038404636 ≈ 8,12
  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 = (a2 + c2)/2 - (b/2)2= 66 =>
  • La médiane mb ≈ 8,124038404636 ≈ 8,12
  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 = (a2 + b2)/2 - (c/2)2= 39 =>
  • La médiane mc ≈ 6,244997998398 ≈ 6,24

  • Démonstration du théorème d'Apollonius

  • Nous prouvons le théorème d'Apollonius en utilisant la loi des cosinus, que nous avons prouvée ci-dessus, lorsque nous avons calculé les mesures des angles.
  • Les trois médianes du triangle

    Les trois médianes du triangle

  • Soit la médiane AM, de longueur ma, divise le côté BC, de longueur "a", en deux parties égales, de longueur BM = CM = a/2. Aussi AB = c, AC = b, BC = a.
  • Soit la mesure de l'angle ∡AMB = θ. Puisque la somme de deux angles sur une droite fait 180°, alors l'angle adjacent ∡AMC = 180° - θ.
  • => cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • Appliquez la loi des cosinus au triangle △ABM, en veillant à inclure également l'angle ∡AMB = θ dans la formule :
  • c2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(θ) =>
  • [1] c2 = ma2 + (a/2)2 - ma × a × cos(θ)
  • Appliquez la loi des cosinus au triangle △ACM, en veillant à inclure également l'angle ∡AMC = 180° - θ dans la formule :
  • b2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(180° - θ)
  • cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • La relation ci-dessus devient :
  • [2] b2 = ma2 + (a/2)2 + ma × a × cos(θ)
  • Ajoutez les deux équations [1] et [2] ensemble. Les termes ma × un × cos(θ) et - ma × un × cos(θ) s'annulent :
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2)

7. Calculer le rayon du cercle inscrit

  • Intro

  • La bissectrice d'un angle est une demi-droite à l'intérieur de l'angle, avec l'origine à son sommet, qui forme deux angles congrus avec les côtés de l'angle. Tout point appartenant à la bissectrice est équidistant des deux côtés de l'angle.
  • Bissectrice d'un angle

    Bissectrice d'un angle

  • Dans tout triangle les bissectrices des angles sont concourantes en un point qui est le centre du cercle tangent aux côtés du triangle, appelé cercle inscrit dans le triangle. C'est le plus grand cercle qui rentre à l'intérieur du triangle.
  • Les bissectrices et le cercle inscrit dans le triangle

    Les bissectrices et le cercle inscrit dans le triangle

  • Dans le triangle △ABC, AA' est la bissectrice de l'angle ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
  • BB' est la bissectrice de l'angle ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
  • CC' est la bissectrice de l'angle ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
  • Les bissectrices AA', BB' et CC' se coupent au point O, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Pourquoi cela se produit-il ?
  • O est un point de la bissectrice AA' donc il est équidistant des segments de droite AB et AC => [1] la distance du point O au segment AB est OP, où OP ⊥ AB (⊥ est le symbole des segments perpendiculaires), [2] la distance du point O au segment AC est ON, où ON ⊥ AC et [3] OP ≅ ON.
  • O est un point de la bissectrice BB' donc il est équidistant des segments de droite AB et BC => [1] la distance du point O au segment AB est OP, où OP ⊥ AB, [2] la distance du point O au segment BC est OM, où OM ⊥ BC et [3] OP ≅ OM.
  • Des relations ci-dessus, il résulte que OM = ON = OP = r, où r est le rayon du cercle inscrit dans le triangle

Calculer le rayon du cercle inscrit

  • Pour calculer le rayon du cercle inscrit dans le triangle, divisez l'aire du triangle par son demi-périmètre :
  • r = Aire / s
  • Où :
  • r = rayon du cercle inscrit dans le triangle
  • s est le demi-périmètre du triangle, déjà calculé ci-dessus
  • Pourquoi cette formule ? Comment le prouver ?
  • L'aire du triangle △ABC = aire △OAB + aire △OBC + aire △OAC = 1/2 × OP × AB + 1/2 × OM × BC + 1/2 × ON × AC = 1/2 × r × AB + 1/2 × r × BC + 1/2 × r × AC = 1/2 × r × (AB + BC + AC) = 1/2 × r × Périmètre = Périmètre/2 × r = Demi-périmètre × r =>
    r = Aire / Demi-périmètre = Aire / s
  • r = 31,224989991992 / 13 ≈ 2,401922307076 ≈ 2,4

8. Calculer le rayon du cercle circonscrit

  • Intro

  • La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu. Tout point appartenant à la médiatrice est équidistant des extrémités du segment.
  • Les médiatrices et le cercle circonscrit du triangle

    Les médiatrices et le cercle circonscrit du triangle

  • Dans tout triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes en un point qui est le centre du cercle passant par les sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.
  • Dans le triangle △ABC, OM1 est la médiatrice du segment BC => BM1 = CM1 = BC / 2 = a / 2, où "a" est la longueur du segment BC.
  • OM2 est la médiatrice du segment AC => AM2 = CM2 = AC / 2 = b / 2, où "b" est la longueur du segment AC.
  • OM3 est la médiatrice du segment AB => AM3 = BM3 = AB / 2 = c / 2, où "c" est la longueur du segment AB.
  • Les médiatrices OM1, OM2 et OM3 se coupent au point O, qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. Pourquoi cela se produit-il ?
  • O est un point sur la médiatrice OM1 => BM1 = CM1 = a/2, OM1 ⊥ BC (⊥ est le symbole des segments ou des lignes perpendiculaires), et OM1 segment commun => triangles rectangles △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
  • O est un point sur la médiatrice OM2 => AM2 = CM2 = b/2, OM2 ⊥ AC et segment commun OM2 => triangles rectangles △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
  • Des relations ci-dessus, il résulte que OA = OB = OC = R, où R est le rayon du cercle circonscrivant le triangle.

Calculer le rayon du cercle circonscrit

  • Pour calculer R, le rayon du cercle circonscrit au triangle, appliquez la formule :
  • R = a × b × c / (4 × Aire)
  • Où :
  • a, b et c sont les longueurs des trois côtés du triangle
  • Pourquoi cette formule ? Comment le prouver ?
  • Le Théorème des sinus établit la relation entre les longueurs des côtés a, b et c d'un triangle, par exemple △ABC, et les sinus des angles opposés, ∠A, ∠B et ∠C :
  • [1] a/sin(∠A) = b/sin(∠B) = c/sin(∠C) = 2 × R
  • R est le rayon du cercle circonscrit au triangle △ABC.
  • Nous utilisons également la Formule Trigonométrique de l'Aire que nous avons prouvée ci-dessus, lorsque nous avons calculé l'aire :
  • [2] Aire = 1/2 × b × c × sin(∠A)
  • De la relation [1] on peut déduire que :
  • [3] sin(∠A) = a/(2 × R)
  • Remplacer sin(∠A) dans la relation [2]:
  • Aire = 1/2 × b × c × a/(2 × R) = a × b × c/(4 × R) =>
  • R = a × b × c/(4 × Aire)
  • R = 8 × 8 × 10/(4 × 31,224989991992) ≈ 5,124100921763 ≈ 5,12

Réponse finale. Données du triangle résolu. Résumé:

Périmètre
26 unités
Demi-périmètre
13 unités
Mesure de l'angle ∡A
0.89566479385787 ≈ 0.89566 radians
51.317812546511 ≈ 51.318 degrés
51 degrés, 19 minutes et 4.13 secondes
Mesure de l'angle ∡B
0.89566479385787 ≈ 0.89566 radians
51.317812546511 ≈ 51.318 degrés
51 degrés, 19 minutes et 4.13 secondes
Mesure de l'angle ∡C
1.3502630658741 ≈ 1.35026 radians
77.364374906981 ≈ 77.364 degrés
77 degrés, 21 minutes et 51.75 secondes
Aire
31,224989991992 ≈ 31,22 unités carrées
Llongueurs des hauteurs
ha = 7,806247497998 ≈ 7,81 unités
hb = 7,806247497998 ≈ 7,81 unités
hc = 6,244997998398 ≈ 6,24 unités
Longueurs des médianes
ma = 8,124038404636 ≈ 8,12 unités
mb = 8,124038404636 ≈ 8,12 unités
mc = 6,244997998398 ≈ 6,24 unités
Rayon, cercle inscrit
2,401922307076 ≈ 2,4 unités
Rayon, cercle circonscrit
5,124100921763 ≈ 5,12 unités
  • Le triangle △ABC de longueurs de côtés : a = 8, b = 8, c = 10

    Le triangle △ABC de longueurs de côtés : BC (a) = 8, AC (b) = 8, AB (c) = 10

Symboles utilisés : + ajout, - soustraction, × multiplications, / division, = égal, ≈ environ, => implication logique, ∠angle, ∡ angle mesuré, mesure de l'angle m(∡A), △ triangle, ⌒ arc de cercle, ⊥ perpendiculaire, ≅ congruence, π le rapport constant de la circonférence d'un cercle à son diamètre, ° unité de la valeur mesurée d'un angle et on l'appelle degrés, ∈ il appartient à, x2 x élevé à la puissance seconde ou x au carré = x × x, sin(∠A) sinus de l'angle A, cos(∠A) cosinus de l'angle A, arccos(ratio) arccosinus d'un rapport donné.

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Comment résoudre un triangle connaissant la longueur de ses trois côtés ?

Qu'est-ce qu'un triangle ?

  • triangle △ABC
    Triangle △ABC
    Étant donné trois points non alignés A, B et C, l'ensemble formé par ces trois points, ainsi que par l'ensemble de tous les points des segments AB, BC et CA, est appelé le triangle déterminé par les points A, B et C. Voir la figure avec la représentation du triangle △ABC.
  • Un triangle est un ensemble de points du plan formant un polygone qui possède trois sommets (A, B et C), trois côtés (AB, BC et CA) et trois angles (∠ABC, ∠BCA et ∠CAB).
  • Un sommet, ici A, est le point d'intersection de deux côtés : AB et AC. Les trois sommets A, B et C sont reliés par trois segments de droite, AB, BC et CA, appelés côtés, qui forment trois angles : ∠ABC, ∠BCA et ∠CAB, dont la somme est égale à 180° (nous le démontrons ci-dessous).
  • Les côtés du triangle sont définis par la longueur des trois segments AB, BC et CA.
  • Un triangle est généralement désigné par ses sommets, par ordre alphabétique : △ABC. Cependant, ce même triangle peut également s'écrire : △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA, c'est-à-dire en utilisant toutes les combinaisons possibles des trois lettres.
  • triangle △ABC et ses côtés a, b, c
    Triangle △ABC et ses côtés a, b, c
    Dans le triangle △ABC, l'angle ∠A est opposé au côté BC, et réciproquement, le côté BC est opposé à l'angle ∠A. Pour les longueurs des côtés d'un triangle △ABC, on utilise généralement les notations suivantes : a = BC, b = CA, c = AB.
  • Lorsque les trois côtés sont de même longueur, le triangle est appelé triangle équilatéral, tandis qu'un triangle dont seulement deux côtés sont de même longueur est appelé triangle isocèle. Lorsqu'un triangle a des côtés de longueurs différentes, on l'appelle un triangle scalène.

Périmètre et demi-périmètre d'un triangle

  • Périmètre : la somme des longueurs des côtés d'un triangle. Le triangle ABC est appelé son périmètre et se note:
    PABC = AB + BC + CA = c + a + b.
  • Demi-périmètre : la moitié de la somme des longueurs des côtés d'un triangle. Le triangle ABC est appelé son demi-périmètre et se note:
    pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2

Position d'un point par rapport à un triangle

  • Un point est appelé point intérieur d'un triangle s'il se situe à l'intérieur de chaque angle du triangle.
  • Un point qui n'est ni à l'intérieur du triangle ni sur les côtés du triangle est appelé point extérieur du triangle.

Types de triangles en termes d'angles

  • triangle rectangle △ABC
    Triangle rectangle △ABC
    Un triangle qui a un angle de 90 °, également appelé angle droit, est appelé un triangle rectangle. Si l'angle droit est A, alors les côtés formant l'angle droit, AB et CA, sont appelés jambes. Le côté opposé à l'angle droit, BC, est appelé hypoténuse. Un triangle ne peut pas avoir plus d'un angle droit - car la somme des trois angles d'un triangle doit être de 180° - s'il y avait deux angles droits, ils mesureraient déjà 90° + 90° = 180°, ne laissant rien pour le troisième angle.
  • triangle scalène aigu △ABC
    Triangle scalène aigu △ABC
    Un triangle qui a tous les angles aigus est appelé un triangle aigu ou scalène aigu : ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
  • triangle scalène obtus △ABC
    Triangle scalène obtus △ABC
    Un triangle qui a un angle obtus, c'est-à-dire supérieur à 90°, est appelé un triangle obtus ou triangle scalène obtus : dans notre cas, ∠A > 90°.
  • Triangle équilatéral △ABC
    Triangle équilatéral △ABC
    Un triangle qui a tous les angles égaux, également appelé congruent, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, est appelé un triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont également égaux : AB ≅ BC ≅ CA.
  • Triangle isocèle △ABC
    Triangle isocèle △ABC
    Un triangle qui n’a que deux angles congrus, par exemple ∠B ≅ ∠C, est appelé triangle isocèle. Dans un triangle isocèle, les côtés opposés aux angles congrus sont également congrus. Le troisième côté du triangle isocèle est appelé la base du triangle isocèle.

Règles spécifiques aux triangles

  • 1. La somme des mesures des angles dans un triangle est toujours égale à 180°. Voir la figure suivante et la preuve associée.
  • preuve : la somme des mesures des angles dans n'importe quel triangle est de 180°
    Somme des mesures des angles dans un triangle
    Soit △ABC un triangle. On construit le parallèle d passant par A jusqu'à BC et les points D et E situés sur la droite d, comme sur la figure. Les points D, A et E, étant situés sur une même droite, sont colinéaires. Donc DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - étant des angles intérieurs alternés pour DE ∥ BC et sécante AB et (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - étant des angles intérieurs alternés pour DE ∥ BC et sécante AC. De (1) et (2) nous obtenons la relation pour la somme des angles du triangle △ABC : ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
  • triangle impossible : côtés
    Triangle impossible : côtés
    2. Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés doit être supérieure à la longueur du troisième côté, sinon le triangle ne pourrait pas être construit. Dans la figure suivante, vous pouvez voir que la longueur du côté a est supérieure à la somme des longueurs de b et c : a > b + c. Dans ce cas, le triangle △ABC ne peut pas du tout être construit.
  • triangle impossible : angles
    Triangle impossible : angles
    3. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle supérieur ou égal à 90°. Si un triangle avait deux angles d'au moins 90°, il ne resterait plus rien pour le troisième angle, selon la règle n° 1. 1. Dans notre cas, puisque ∡B = 90° et ∠C > 90°, les côtés b et c ne peuvent pas se rencontrer pour former le sommet A du triangle △ABC.
  • angles externes
    Angles externes

    4. L'angle adjacent et supplémentaire à un angle du triangle est appelé angle extérieur du triangle. Tout triangle a trois paires d’angles extérieurs, soit six angles extérieurs au total. Chaque angle du triangle a deux paires d'angles extérieurs, congrus l'un à l'autre, opposés au sommet : l'angle ∠A a deux angles extérieurs ∠1 et ∠2 - où ∠1 ≡ ∠2, l'angle ∠C a deux angles extérieurs ∠3 et ∠4 - où ∠3 ≡ ∠4, et l'angle ∠B a deux angles extérieurs ∠5 et ∠6, où ∠5 ≡ ∠6.

    La mesure d'un angle extérieur d'un triangle est égale à la somme des mesures des angles qui ne lui sont pas adjacents, puisque ∠A + ∠B + ∠C = 180° et ∠A + ∠1 = 180°, il s'ensuit que : ∡1 = 180° - ∠A et ∡1 = ∠B + ∠C ; de même, ∡2 = 180° - ∠A et ∡2 = ∠B + ∠C ; ∡3 = 180° - ∠C et ∡3 = ∠A + ∠B ; ∡4 = 180° - ∠C et ∡4 = ∠A + ∠B ; ∡5 = 180° - ∠B et ∡5 = ∠A + ∠C ; et enfin ∡6 = 180° - ∠B et ∡6 = ∠A + ∠C.

    La somme des mesures de tous les angles extérieurs d'un triangle est égale à : ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.

  • le plus grand côté est opposé au plus grand angle
    Côté plus grand opposé à un angle plus grand
    5. Quel que soit un triangle ayant deux côtés non congruents, le plus grand côté est opposé par le plus grand angle. Si a > b et a > c, alors ∠A > ∠B et ∠A > ∠C.

Comment résoudre le triangle si l’on connaît la longueur de ses trois côtés ?

  • Connaissant les longueurs a, b et c des trois côtés d'un triangle △ABC, où a est le côté opposé à l'angle ∠A, b est le côté opposé à l'angle ∠B et c est le côté opposé à l'angle ∠C, chaque angle peut être calculé à l'aide des formules ci-dessous.

La forme réarrangée de la loi des cosinus (ou règle du cosinus)

  • Cette formule est utilisée pour calculer la mesure d'un angle dans n'importe quel triangle lorsque vous connaissez les longueurs des trois côtés :
  • ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Exemple : Connaissant les côtés d'un triangle, a = 7, b = 5 and c = 9, calculer les angles ∡A, ∡B et ∡C du triangle :
  • ∡A =
    arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
    arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
    arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
    arccos((25 + 32)) / 90) =
    arccos(57/90) =
    arccos(0.6333) =
    0.88498643446628 radians =
    50.705987621249 degrés
  • ∡B =
    arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
    arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
    arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
    arccos((49 + 56)) / 126) =
    arccos(105/126) =
    arccos(0.8333) =
    0.58574584298534 radians =
    33.560764670393 degrés
  • ∡C =
    arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
    arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
    arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
    arccos((49 + -56)) / 70) =
    arccos(-7/70) =
    arccos(-0.1) =
    1.6709637479565 radians =
    95.739170477267 degrés
  • Vérifiez que la somme des angles ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
  • ∡A = 50.705987621249°
    ∡B = 33.560764670393°
    ∡C = 95.739170477267°
    ∡A + ∡B + ∡C =
    50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
    180.00592276891° ≈ 180°