Comment résoudre un triangle connaissant la longueur de ses trois côtés ?
Qu'est-ce qu'un triangle ?
- Étant donné trois points non alignés A, B et C, l'ensemble formé par ces trois points, ainsi que par l'ensemble de tous les points des segments AB, BC et CA, est appelé le triangle déterminé par les points A, B et C. Voir la figure avec la représentation du triangle △ABC.
Triangle △ABC - Un triangle est un ensemble de points du plan formant un polygone qui possède trois sommets (A, B et C), trois côtés (AB, BC et CA) et trois angles (∠ABC, ∠BCA et ∠CAB).
- Un sommet, ici A, est le point d'intersection de deux côtés : AB et AC. Les trois sommets A, B et C sont reliés par trois segments de droite, AB, BC et CA, appelés côtés, qui forment trois angles : ∠ABC, ∠BCA et ∠CAB, dont la somme est égale à 180° (nous le démontrons ci-dessous).
- Les côtés du triangle sont définis par la longueur des trois segments AB, BC et CA.
- Un triangle est généralement désigné par ses sommets, par ordre alphabétique : △ABC. Cependant, ce même triangle peut également s'écrire : △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA, c'est-à-dire en utilisant toutes les combinaisons possibles des trois lettres.
- Dans le triangle △ABC, l'angle ∠A est opposé au côté BC, et réciproquement, le côté BC est opposé à l'angle ∠A. Pour les longueurs des côtés d'un triangle △ABC, on utilise généralement les notations suivantes : a = BC, b = CA, c = AB.
Triangle △ABC et ses côtés a, b, c - Lorsque les trois côtés sont de même longueur, le triangle est appelé triangle équilatéral, tandis qu'un triangle dont seulement deux côtés sont de même longueur est appelé triangle isocèle. Lorsqu'un triangle a des côtés de longueurs différentes, on l'appelle un triangle scalène.
Périmètre et demi-périmètre d'un triangle
- Périmètre : la somme des longueurs des côtés d'un triangle. Le triangle ABC est appelé son périmètre et se note:
PABC = AB + BC + CA = c + a + b. - Demi-périmètre : la moitié de la somme des longueurs des côtés d'un triangle. Le triangle ABC est appelé son demi-périmètre et se note:
pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2
Position d'un point par rapport à un triangle
- Un point est appelé point intérieur d'un triangle s'il se situe à l'intérieur de chaque angle du triangle.
- Un point qui n'est ni à l'intérieur du triangle ni sur les côtés du triangle est appelé point extérieur du triangle.
Types de triangles en termes d'angles
- Un triangle qui a un angle de 90 °, également appelé angle droit, est appelé un triangle rectangle. Si l'angle droit est A, alors les côtés formant l'angle droit, AB et CA, sont appelés jambes. Le côté opposé à l'angle droit, BC, est appelé hypoténuse. Un triangle ne peut pas avoir plus d'un angle droit - car la somme des trois angles d'un triangle doit être de 180° - s'il y avait deux angles droits, ils mesureraient déjà 90° + 90° = 180°, ne laissant rien pour le troisième angle.
Triangle rectangle △ABC - Un triangle qui a tous les angles aigus est appelé un triangle aigu ou scalène aigu : ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
Triangle scalène aigu △ABC - Un triangle qui a un angle obtus, c'est-à-dire supérieur à 90°, est appelé un triangle obtus ou triangle scalène obtus : dans notre cas, ∠A > 90°.
Triangle scalène obtus △ABC - Un triangle qui a tous les angles égaux, également appelé congruent, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, est appelé un triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont également égaux : AB ≅ BC ≅ CA.
Triangle équilatéral △ABC - Un triangle qui n’a que deux angles congrus, par exemple ∠B ≅ ∠C, est appelé triangle isocèle. Dans un triangle isocèle, les côtés opposés aux angles congrus sont également congrus. Le troisième côté du triangle isocèle est appelé la base du triangle isocèle.
Triangle isocèle △ABC
Règles spécifiques aux triangles
- 1. La somme des mesures des angles dans un triangle est toujours égale à 180°. Voir la figure suivante et la preuve associée.
- Soit △ABC un triangle. On construit le parallèle d passant par A jusqu'à BC et les points D et E situés sur la droite d, comme sur la figure. Les points D, A et E, étant situés sur une même droite, sont colinéaires. Donc DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - étant des angles intérieurs alternés pour DE ∥ BC et sécante AB et (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - étant des angles intérieurs alternés pour DE ∥ BC et sécante AC. De (1) et (2) nous obtenons la relation pour la somme des angles du triangle △ABC : ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
Somme des mesures des angles dans un triangle - 2. Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés doit être supérieure à la longueur du troisième côté, sinon le triangle ne pourrait pas être construit. Dans la figure suivante, vous pouvez voir que la longueur du côté a est supérieure à la somme des longueurs de b et c : a > b + c. Dans ce cas, le triangle △ABC ne peut pas du tout être construit.
Triangle impossible : côtés - 3. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle supérieur ou égal à 90°. Si un triangle avait deux angles d'au moins 90°, il ne resterait plus rien pour le troisième angle, selon la règle n° 1. 1. Dans notre cas, puisque ∡B = 90° et ∠C > 90°, les côtés b et c ne peuvent pas se rencontrer pour former le sommet A du triangle △ABC.
Triangle impossible : angles 
Angles externes4. L'angle adjacent et supplémentaire à un angle du triangle est appelé angle extérieur du triangle. Tout triangle a trois paires d’angles extérieurs, soit six angles extérieurs au total. Chaque angle du triangle a deux paires d'angles extérieurs, congrus l'un à l'autre, opposés au sommet : l'angle ∠A a deux angles extérieurs ∠1 et ∠2 - où ∠1 ≡ ∠2, l'angle ∠C a deux angles extérieurs ∠3 et ∠4 - où ∠3 ≡ ∠4, et l'angle ∠B a deux angles extérieurs ∠5 et ∠6, où ∠5 ≡ ∠6.
La mesure d'un angle extérieur d'un triangle est égale à la somme des mesures des angles qui ne lui sont pas adjacents, puisque ∠A + ∠B + ∠C = 180° et ∠A + ∠1 = 180°, il s'ensuit que : ∡1 = 180° - ∠A et ∡1 = ∠B + ∠C ; de même, ∡2 = 180° - ∠A et ∡2 = ∠B + ∠C ; ∡3 = 180° - ∠C et ∡3 = ∠A + ∠B ; ∡4 = 180° - ∠C et ∡4 = ∠A + ∠B ; ∡5 = 180° - ∠B et ∡5 = ∠A + ∠C ; et enfin ∡6 = 180° - ∠B et ∡6 = ∠A + ∠C.
La somme des mesures de tous les angles extérieurs d'un triangle est égale à : ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.
- 5. Quel que soit un triangle ayant deux côtés non congruents, le plus grand côté est opposé par le plus grand angle. Si a > b et a > c, alors ∠A > ∠B et ∠A > ∠C.
Côté plus grand opposé à un angle plus grand
Comment résoudre le triangle si l’on connaît la longueur de ses trois côtés ?
- Connaissant les longueurs a, b et c des trois côtés d'un triangle △ABC, où a est le côté opposé à l'angle ∠A, b est le côté opposé à l'angle ∠B et c est le côté opposé à l'angle ∠C, chaque angle peut être calculé à l'aide des formules ci-dessous.
La forme réarrangée de la loi des cosinus (ou règle du cosinus)
- Cette formule est utilisée pour calculer la mesure d'un angle dans n'importe quel triangle lorsque vous connaissez les longueurs des trois côtés :
- ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
- ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
- ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
- Exemple : Connaissant les côtés d'un triangle, a = 7, b = 5 and c = 9, calculer les angles ∡A, ∡B et ∡C du triangle :
- ∡A =
arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
arccos((25 + 32)) / 90) =
arccos(57/90) =
arccos(0.6333) =
0.88498643446628 radians =
50.705987621249 degrés - ∡B =
arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
arccos((49 + 56)) / 126) =
arccos(105/126) =
arccos(0.8333) =
0.58574584298534 radians =
33.560764670393 degrés - ∡C =
arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
arccos((49 + -56)) / 70) =
arccos(-7/70) =
arccos(-0.1) =
1.6709637479565 radians =
95.739170477267 degrés - Vérifiez que la somme des angles ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
- ∡A = 50.705987621249°
∡B = 33.560764670393°
∡C = 95.739170477267°
∡A + ∡B + ∡C =
50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
180.00592276891° ≈ 180°