Cosinus et Arccosinus dans un triangle rectangle

• Définitions

• Définition 1 : Cosinus - Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle représente le rapport du côté adjacent à l'angle à l'hypoténuse.
• cos(∠A) = ^c/_b
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  Cosinus et arccosinus

• Définition 2 : Arccos (l'arccosinus) - C'est l'inverse de la fonction mathématique cosinus standard. Alors que la fonction cosinus prend un angle et renvoie le rapport correspondant, l'arccos prend un rapport et renvoie l'angle correspondant.
• Puisque cos et arccos sont des fonctions inverses, arccos(cos(∡A)) = ∡A. Si on applique la fonction arccos à l'égalité ci-dessus :
• cos(∡A) = ^c/_b => arccos(cos(∡A)) = arccos(^c/_b) <=>
• ∡A = arccos(^c/_b) =>
• arccos(^c/_b) = mesure de l'angle ∡A

• Le cosinus des angles supplémentaires

• Définition : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180 degrés (π radians).
• Exemple : Un angle de 120° est supplémentaire à celui de 60°, car 120° + 60° = 180°.
• Formule du cosinus des angles supplémentaires :

cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Comment prouver cette formule ?
• Sur le système d'axes orthogonaux xOy nous avons le cercle de centre O et de rayon r..
• On choisit le point A sur le cercle pour que la mesure de l'angle que fait le segment OA avec l'axe Ox soit égale à θ. C est la projection du point A sur l'axe Ox, c'est-à-dire que AC est perpendiculaire à Ox. => Dans le triangle rectangle △AOC, la mesure de l'angle ∡AOC est m(∡AOC) = θ.
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  Le cosinus des angles supplémentaires

• On choisit le point B sur le cercle pour que la mesure de l'angle que fait le segment OB avec l'axe Ox soit égale à (180° - θ). D est la projection du point B sur l'axe Ox, c'est-à-dire que BD est perpendiculaire à Ox. => Dans le triangle rectangle △BOD, la mesure de l'angle ∡BOD est m(∡BOD) = θ.
• Les triangles rectangles △AOC et △BOD sont congrus (angle, θ, hypoténuse, r) => OC congru à OD, OC ≅ OD.
• Les cosinus des angles ∡AOC et ∡BOC sont :

Mais OD = - OC (ils ont la même longueur, étant des segments congrus, mais sont dans des quadrants différents en termes de Ox).

• => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - ^OC/_r = - cos(θ)
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Exemples de calculs

• Exemple 1 : Calcul du cosinus
• Dans un triangle rectangle qui a la mesure de l'angle ∡B = 90°, la longueur du côté b = 10 et la longueur du côté c = 6, le cosinus de l'angle ∠A est calculé comme :
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  Cosinus et arccosinus

cos(∠A) = ^c/_b = ⁶/₁₀ = ³/₅ = 0,6