La formule de Héron, une démonstration utilisant le théorème de Pythagore

La formule du Héron. Une démonstration étape par étape utilisant le théorème de Pythagore

La formule du Héron. Démonstration



  • La Formule du Héron

  • Étant donné la longueur de ses trois côtés, l'aire d'un triangle peut être calculée à l'aide de la formule du Héron :

  • Aire2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Où :
  • a, b et c sont les longueurs des trois côtés du triangle
  • s est le demi-périmètre du triangle s = P/2
  • P est le périmètre du triangle, P = a + b + c
  • s = (a + b + c)/2

  • Démonstration étape par étape de la formule de Héron, en utilisant le théorème de Pythagore

  • Considérons un triangle △ABC avec ses côtés BC = a, AC = b et AB = c. Dessinez la hauteur du sommet A, opposé au côté "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, la longueur de AD = h. AD divise la base "a" en deux segments, de longueurs BD = x et CD = a - x.
  • Triangle △ABC et la formule de Héron

    Triangle △ABC et la formule de Héron


Appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle △ADB:


  • h2 + x2 = c2
  • h2 = c2 - x2

Appliquer le théorème de Pythagore au triangle rectangle △ADC:


  • h2 + (a - x)2 = b2
  • h2 = b2 - (a - x)2

Égalez les deux expressions pour h2 et résolvez le segment "x":


  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2)
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)

Remplacez "x" dans la formule de h2 et calculez la hauteur "h":


  • h2 = c2 - x2
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • h2 = c2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a)2

Convertir les deux "fractions" en un dénominateur commun


  • h2 = c2 × (2 × a)2/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2)/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2

Décomposer l'expression en utilisant la règle de la différence des carrés, c2 - x2 = (c - x) × (c + x)


  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2

Appliquer les formules de calcul abrégées :
(a2 - 2 × a × c + c2) = (a - c)2
(a2 + 2 × a × c + c2) = (a + c)2


  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2

Remplacez h2 dans la formule de l'aire :


  • Aire = 1/2 × a × h
  • Area2 = 1/4 × a2 × h2
  • Aire2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2)
  • Aire2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)

Utilisez le demi-périmètre s = (a + b + c)/2 pour réécrire les facteurs de la dernière formule de l'aire d'en haut :


  • s = (a + b + c)/2
  • a + b + c = 2 × s
  • b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)

Réécrire la dernière formule de l'aire :


  • Aire2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c)
  • Aire2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - La Formule du Héron

  • Exemple : calculons l'aire d'un triangle en utilisant la formule de Héron

  • Calculons l'aire d'un triangle dont les côtés ont des longueurs a = 12, b = 17 et c = 14 unités.

  • Aire2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 12) × (21,5 - 17) × (21,5 - 14) =
  • 21,5 × 9,5 × 4,5 × 7,5 =
  • 6.893,4375 ≈
  • 6.893,44

Aire ≈ 83,026727624302 ≈ 83,03 unités carrées