Comment calculer l'aire d'un triangle, étant donné les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle qui les sépare ? Formule trigonométrique

• Longueur du côté - Mesure de l'angle - Longueur du côté

• Cette méthode de calcul de l'aire d'un triangle consiste à connaître les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle qui les sépare.
• Dans un triangle △ABC de longueurs de côtés BC = a, AC = b et AB = c, les longueurs de a et b sont connues, ainsi que la mesure de l'angle ∠C.

• On commence par la formule classique de l'aire d'un triangle :

• L'aire = ¹/₂ × a × h_a
• Où :
• a = le côté du triangle opposé à l'angle ∠A
• h_a = la hauteur AD du sommet A jusqu'au côté de longueur "a" (BC), où D appartient à la ligne contenant le segment BC.
• 

  Hauteur h_a en fonction du côté b et du sinus de l'angle ∠C

• == Mais nous ne connaissons pas la longueur de la hauteur h_a. Que faisons-nous ensuite ? ==
• En utilisant les notions de trigonométrie, dans le triangle rectangle △ADC (∡D = 90°), formé à droite de la hauteur h_a, on a :
• sin(∠C) = ^h_a / _b => h_a = b × sin(∠C).
• Remplacez la hauteur h_a dans la formule classique de l'aire du triangle et obtenez :

• La formule trigonométrique :

• L'aire = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)

Calculons l'aire d'un triangle avec les longueurs de côté a = 10, b = 9 et la mesure d'angle de m(∠C) = 40 degrés.