Théorème d'Al-Kashi : la loi des cosinus ou théorème de Pythagore généralisé. Formule et démonstration

Le théorème des cosinus, ou le théorème de Pythagore généralisé

Le théorème des cosinus, ou théorème de Pythagore généralisé, stipule que dans tout triangle △ABC, nous avons ces trois relations entre les longueurs des côtés a, b et c et le cosinus des angles ∠A, ∠B et ∠C :

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Où :
• a = le côté du triangle opposé à l'angle ∠A
• b = le côté du triangle opposé à l'angle ∠B
• c = le côté du triangle opposé à l'angle ∠C

On l'appelle aussi théorème de Pythagore généralisé car il fonctionne pour tous les triangles. Lorsque l'angle ∠A, ∠B ou ∠C est un angle droit, cos(90°) = 0, faisant disparaître la partie supplémentaire et laissant le théorème de Pythagore classique :

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

» Théorème de Pythagore, démonstration à l'aide d'un carré

• Démonstration du théorème des cosinus

• Dans tout triangle △ABC qui n'est pas rectangle et dont les côtés sont BC = a, AC = b et AB = c, tracez du sommet A la perpendiculaire au côté BC qui coupe BC au point D. Les longueurs des côtés : AD = h_a, BD = a1 et CD = a2, où a1 + a2 = a.
• 

  Démonstration du théorème des cosinus

Dans le triangle rectangle △ABD nous avons les relations trigonométriques suivantes :

Dans le triangle rectangle △ADC appliquer le théorème de Pythagore :

Remplacez h_a et a1 dans la formule ci-dessus :

Dans le triangle rectangle △ABD appliquer le théorème de Pythagore :

Remplacer ^{(h_a2 + a12)}/_c² dans la dernière formule de b² :

En traçant les perpendiculaires h_b et h_c aux deux autres côtés du triangle, nous pourrions également démontrer, de la même manière, les deux autres relations du théorème des cosinus.

• Quand utiliser ce théorème

• Le Théorème des cosinus pourrait être utilisé pour :
• 1. Pour trouver la longueur inconnue d'un côté d'un triangle si l'on connaît la longueur des deux autres côtés et la mesure de l'angle opposé.
• 2. Pour trouver la mesure inconnue d'un angle dans un triangle lorsque l'on connaît les trois longueurs de ses côtés
• Pour cela, réécrivez le Théorème des cosinus pour mettre en évidence le cosinus de l'angle, puis appliquez la fonction arccos pour les deux côtés de l'égalité.
• Puisque cos et arccos sont des fonctions inverses, arccos(cos(∡B)) = ∡B:

» Cosinus et Arccosinus dans un triangle rectangle

Le même processus pourrait être utilisé pour démontrer les formules pour les mesures des deux autres angles, ∠A et ∠C.

• Exemples de calculs

• L'exemple 1 : Calcul d'une longueur de côté lorsque l'angle opposé et les deux autres côtés sont donnés
• Dans un triangle où les longueurs de deux côtés sont données, a = 5, c = 7, et la mesure de l'angle entre eux est ∡B = 54°, calculons la longueur du côté b :
• Introduisez les données données dans l'une des trois équations du théorème des cosinus.
• Utilisez une calculatrice pour calculer la fonction cos(54°).
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• La racine carrée de b² = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• L'exemple 2 : Calcul de la mesure d'un angle lorsque les trois longueurs des côtés sont connues
• Dans un triangle dont les longueurs des côtés sont a = 5, b = 5,73 et c = 7, calculons la mesure de l'angle ∠B :
• Introduisez les données données dans l'une des trois équations réarrangées pour les angles du théorème du cosinus.
• Rappelons-nous : a² - b² = (a + b) × (a - b).
• Utilisez une calculatrice pour calculer la fonction arccos().
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.