Théorème d'Al-Kashi : la loi des cosinus ou théorème de Pythagore généralisé

Théorème d'Al-Kashi : la loi des cosinus ou théorème de Pythagore généralisé

La Théorème d'Al-Kashi : la loi des cosinus ou théorème de Pythagore généralisé stipule que dans tout triangle △ABC nous avons ces trois relations entre les longueurs des côtés a, b et c et le cosinus des angles ∠A, ∠B ou ∠C :

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Où :
• a = le côté du triangle opposé à l'angle ∠A
• b = le côté du triangle opposé à l'angle ∠B
• c = le côté du triangle opposé à l'angle ∠C

On l'appelle aussi théorème de Pythagore généralisé car il fonctionne pour tous les triangles. Lorsque l'angle ∠A, ∠B ou ∠C est un angle droit cos(90°) = 0, faisant disparaître la partie supplémentaire et laissant le classique - Le théorème de Pythagore :

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b².

• Pourquoi cette formule ? Preuve de la loi du cosinus

• Dans tout triangle △ABC, qui n'est pas rectangle, de longueurs de côtés BC = a, AC = b et AB = c, on trace du sommet A la perpendiculaire au côté BC, qui coupe BC au point D. On note les longueurs des côtés AD = h_a, BD = a1 et CD = a2, où a1 + a2 = a.
• 

  Preuve de la loi du cosinus

• Dans le triangle rectangle △ABD nous avons les relations trigonométriques suivantes :