Théorème de Pythagore, démonstration à l'aide d'un carré

• Théorème de Pythagore

• Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l'hypoténuse :

• c² = a² + b²
• Où :
• a et b sont les longueurs des deux cathéters
• c est la longueur de l'hypoténuse

• Théorème de Pythagore généralisé

• Le théorème de Pythagore généralisé, également appelé théorème des cosinus, établit une relation entre la longueur d'un côté d'un triangle donné et les deux autres côtés, en utilisant le cosinus de l'angle entre ces deux côtés, comme suit :

c² = a² + b² - 2 × a × c × cos(∠C)

Cependant, si la mesure de l'angle ∠C est m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0, la formule du théorème de Pythagore généralisé devient le théorème de Pythagore classique :

c² = a² + b²

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• 1. Nous construisons un carré de côté L = a + b

• Nous plaçons à l'intérieur de ce carré quatre triangles rectangles congruents. Les longueurs des cathéters de ces carrés droits sont respectivement a et b, comme dans la figure ci-contre.
• La longueur des quatre hypoténuses est égale à c.
• 

  Démonstration du théorème de Pythagore utilisant le carré

• Les quatre triangles sont congrus et les mesures des angles α + β = 90°.
• Il s'avère que les mesures des angles γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
• Il s'avère donc que le polygone du côté c est un carré.

• 2. Nous calculons l'aire du grand carré par deux méthodes

• L'aire du grand carré, Aire_L, peut être obtenue de la manière la plus simple en multipliant ses côtés :

Aire_L = L × L = L² = (a + b)²

Cependant, l'aire du grand carré, Aire_L, peut également être obtenue en additionnant les aires des formes géométriques qui le composent, c'est-à-dire les quatre triangles rectangles congrus et le plus petit carré, de côté c, formé au centre :

Aire_L = 4 × ¹/₂ × a × b + c × c = 2 × a × b + c²

• 3. On met les deux relations en égalité :

• Les deux équations représentent l'aire du grand carré, Aire_L, calculée de différentes manières, elles sont donc égales l'une à l'autre.

2 × a × b + c² = (a + b)²

Annuler la parenthèse :

2 × a × b + c² = a² + 2 × a × b + b²

Nous rayons le terme commun "2 × a × b", des deux côtés de l'égalité, et obtenons le théorème de Pythagore :

c² = a² + b²

• Pourquoi le théorème de Pythagore est-il important

• Le théorème de Pythagore établit une relation entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
• En appliquant le théorème de Pythagore, nous pouvons déterminer si un triangle est rectangle ou non.
• Le théorème de Pythagore a de nombreuses applications pratiques : en géométrie, il est la base de la trigonométrie, il est utilisé pour calculer les distances entre deux points sur une carte, il est la base des systèmes de localisation sur des cartes numériques ou pour établir des itinéraires, il est utilisé en construction et en architecture pour construire des angles de 90 degrés, et en physique et en ingénierie pour décomposer les forces ou les vitesses.

• Exemple 1 : calcul de l'hypoténuse dans un triangle rectangle

• Nous avons un triangle rectangle avec des cathéters de longueurs a = 3 et b = 4, calculons la longueur de l'hypoténuse, c.

• Exemple 2 : on vérifie si un triangle est rectangle

• Nous avons un triangle avec des côtés de longueurs a = 4, b = 7 et c = 8, vérifions si c'est un triangle rectangle.
• Nous supposons que le triangle est rectangle, nous appliquons le théorème de Pythagore et voyons s'il est vérifié.

Le théorème de Pythagore n'est pas vérifié, donc le triangle n'est pas rectangle.