Le théorème d'Apollonius. Formule et démonstration

• Les médianes dans un triangle

• Définition : La médiane d'un triangle est un segment de droite reliant un sommet du triangle au milieu du côté opposé.
• Chaque triangle possède trois médianes qui se rejoignent en un seul point central, appelé centroïde.
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  Les trois médianes du triangle

• Dans le triangle △ABC m_a est la médiane reliant le sommet A au milieu du côté BC, m_b est la médiane reliant le sommet B au milieu du côté AC et m_c est la médiane reliant le sommet C au milieu du côté AB. Toutes les médianes se coupent au point G, le centroïde.
• Le point G divise les longueurs des trois médianes comme suit :

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Théorème d'Apollonius

• Dans un triangle △ABC, pour lequel on connaît les longueurs des côtés "a", "b" et "c", ayant respectivement les sommets opposés A, B et C, il existe une relation entre les longueurs des côtés et les longueurs des médianes m_a, m_b et m_c, où la médiane m_a est tirée du sommet A au côté "a", la médiane m_b est tracée du sommet B au côté "b", et m_c est tracée du sommet C au côté "c":

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• Démonstration du théorème d'Apollonius

• Nous démontrons le théorème d'Apollonius en utilisant la loi des cosinus, également appelé théorème d'Al-Kash, ou théorème de Pythagore généralisé, qui est également utilisé pour calculer les mesures des angles dans un triangle.
• » Théorème d'Al-Kashi : la loi des cosinus ou théorème de Pythagore généralisé. Formule et démonstration
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  Les trois médianes du triangle Démonstration du théorème d'Apollonius

• Laissons la médiane AM, de longueur m_a, diviser le côté BC, de longueur "a", en deux parties égales, de longueur BM = CM = ^a/₂. Aussi les longueurs de AB = c, AC = b, BC = a.
• Soit la mesure de l'angle ∡AMB = θ. Puisque la somme de deux angles sur une droite est égale à 180°, alors l'angle adjacent ∡AMC = 180° - θ.

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » Cosinus et Arccosinus dans un triangle rectangle

Appliquez la loi des cosinus au triangle △ABM, en veillant à inclure également l'angle ∡AMB = θ dans la formule :

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

Appliquez la loi des cosinus au triangle △ACM, en veillant à inclure également l'angle ∡AMC = 180° - θ dans la formule :

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• Remplacer l'expression : cos(180° - θ) = - cos(θ)
• La relation initiale ci-dessus devient :
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• Ajoutez les deux équations [1] et [2] ensemble. Les termes "m_a × a × cos(θ)" et "- m_a × a × cos(θ)" s'annulent :

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - Théorème d'Apollonius

• Exemple de calcul

• Calculons les médianes m_a, m_b et m_c d'un triangle si toutes les longueurs des côtés sont données : a = 12, b = 10 et c = 8.
• Appliquer le théorème d'Apollonius et résoudre les médianes :