Comment calculer les longueurs des médianes d'un triangle, étant donné la longueur des trois côtés

• Les médianes dans un triangle

• Définition : La médiane d'un triangle est un segment de droite reliant un sommet du triangle au milieu du côté opposé.
• Chaque triangle possède trois médianes qui se rejoignent en un seul point central, appelé centroïde.
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  Les trois médianes du triangle

• Dans le triangle △ABC m_a est la médiane reliant le sommet A au milieu du côté BC, m_b est la médiane reliant le sommet B au milieu du côté AC et m_c est la médiane reliant le sommet C au milieu du côté AB. Toutes les médianes se coupent au point G, le centroïde.
• Le point G divise les longueurs des trois médianes comme suit :

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Théorème d'Apollonius

• Dans un triangle △ABC, pour lequel on connaît les longueurs des côtés "a", "b" et "c", ayant respectivement les sommets opposés A, B et C, il existe une relation entre les longueurs des côtés et les longueurs des médianes m_a, m_b et m_c, où la médiane m_a est tirée du sommet A au côté "a", la médiane m_b est tracée du sommet B au côté "b", et m_c est tracée du sommet C au côté "c":

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

» Le théorème d'Apollonius et les médianes dans un triangle. Formule. Démonstration

• Exemple n°. 1

• Deux des trois médianes doivent être égales dans un triangle isocèle. Calculons ces trois médianes m_a, m_b et m_c et voyons si deux d'entre elles sont égales ou non. Les longueurs des côtés sont données comme suit : a = 10, b = 6 et c = 10.
• Appliquer le théorème d'Apollonius et résoudre les médianes :

On peut voir que deux des médianes sont égales, celles correspondant aux côtés congruents, m_a ≅ m_c

• Exemple n°. 2

• La longueur d'une médiane dans un triangle rectangle faisant un angle de 30 degrés, correspondant à l'hypoténuse, doit être la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Les longueurs des côtés de ce triangle sont données comme suit : a = 10 (hypoténuse), b = 5 et c = 8,66025. Calculons la médiane m_a de ce triangle rectangle, correspondant à l'hypoténuse, et vérifions la règle mentionnée ci-dessus.
• Appliquer le théorème d'Apollonius et résoudre les médianes :

On peut voir que la longueur de la médiane correspondant à l'hypoténuse, m_a, est la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

• Exemple n°. 3

• Calculons les médianes m_a, m_b et m_c d'un triangle si toutes les longueurs des côtés sont données : a = 10, b = 6 et c = 10.
• Appliquer le théorème d'Apollonius et résoudre les médianes :