Comment trouver le centre du cercle inscrit dans un triangle

• Qu'est-ce que la bissectrice d'un angle ?

• La bissectrice d'un angle est un segment de droite à l'intérieur de l'angle, dont l'origine est à son sommet, qui forme avec les côtés de l'angle deux angles congrus plus petits.
• Important : Tout point appartenant à la bissectrice est équidistant des deux côtés de l'angle.
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  Bissectrice d'un angle

• Comment trouver le centre du cercle inscrit dans un triangle ?

• Dans tout triangle, les bissectrices des angles se croisent exactement au même point, qui est le centre du cercle tangent aux côtés du triangle, appelé cercle inscrit dans le triangle. C'est le plus grand cercle qui rentre à l'intérieur du triangle.
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  Les bissectrices et le cercle inscrit dans le triangle

• Dans le triangle △ABC :
• AA' est la bissectrice de l'angle ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ^∠BAC / ₂
• BB' est la bissectrice de l'angle ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ^∠ABC / ₂
• CC' est la bissectrice de l'angle ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ^∠ACB / ₂

Les bissectrices AA', BB' et CC' se coupent au point O, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

• Pourquoi le point d'intersection des bissectrices est-il le centre du cercle inscrit dans le triangle ?

• O est un point de la bissectrice AA' donc il est équidistant des segments de droite AB et AC =>
• [1] la distance du point O au segment AB est OP, où OP ⊥ AB (⊥ est le symbole des segments perpendiculaires) ;
• [2] la distance du point O au segment AC est ON, où ON ⊥ AC;
• [3] OP ≅ ON.

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• O est un point de la bissectrice BB' donc il est équidistant des segments de droite AB et BC =>
• [1] la distance du point O au segment AB est OP, où OP ⊥ AB;
• [2] la distance du point O au segment BC est OM, où OM ⊥ BC;
• [3] OP ≅ OM.

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• Des relations ci-dessus, il résulte que OP ⊥ AB, OM ⊥ BC, ON ⊥ AC et OM = ON = OP = r, où r est le rayon du cercle inscrit dans le triangle.

• Remarques :
• Un cercle inscrit dans un triangle est le plus grand cercle pouvant être dessiné à l'intérieur d'un triangle de manière à ce qu'il soit tangent à ses trois côtés.
• Un cercle est tangent à une droite lorsque la droite et le cercle ont exactement un point en commun. Le segment formé par le centre du cercle et le point de contact avec la ligne est perpendiculaire à la ligne.