La loi des sinus dans un triangle, démonstration sur le cercle circonscrit

• Loi des sinus

• La Loi des sinus stipule que pour tout triangle △ABC de longueurs de côté BC = a, AC = b et AB = c et d'angles ∠A, ∠B et ∠C, le rapport de toute longueur de côté au sinus de son angle opposé est constant et égal au diamètre du cercle circonscrit du triangle :

• ^a / _sin(∡A) = ^b / _sin(∡B) = ^c / _sin(∡C) = 2 × R
• Où :
• a, b et c sont les longueurs des trois côtés
• ∡A, ∡B et ∡C sont les mesures des trois angles
• ∠A est l'angle opposé au côté a
• ∠B est l'angle opposé au côté b
• ∠C est l'angle opposé au côté c
• R est le rayon du cercle circonscrit au triangle △ABC
• 2 × R = diamètre du cercle circonscrit au triangle

• Démonstration de la Loi des sinus à l'aide du cercle circonscrit

• Soit un triangle △ABC et son cercle circonscrit : tracez un cercle qui passe par les trois sommets A, B et C du triangle, de rayon R et de centre O.

» Comment trouver le centre du cercle circonscrit d'un triangle

• 

  Triangle △ABC et le cercle circonscrit

• À travers le sommet C (cela pourrait tout aussi bien être A ou B), nous traçons le segment de droite CD, qui coupe le cercle circonscrit au point D et passe par le centre O du cercle, étant ainsi également un diamètre du cercle, CD = 2 × R.
• Le théorème de l'angle inscrit : la mesure d'un angle inscrit dans un cercle est la moitié de la mesure de l'arc contenu entre ses côtés.
• Le triangle nouvellement créé, △DBC est un triangle rectangle, car la mesure de l'angle ∡DBC = 90°, étant la moitié de la mesure de l'arc de cercle, qui est de 180 degrés (diamètre CD).

m(∡DBC) = 90°

Dans le triangle rectangle △BDC nous avons la relation trigonométrique :

sin(∡D) = ^BC/_CD = ^a/_{(2 × R)}

Mais les angles ∠D et ∠A sont congrus, étant deux angles inscrits dans le même cercle et de mesures égales à la moitié de la longueur du même arc de cercle (BC) :

∠D ≅ ∠A

Cela signifie que les sinus calculés à partir des deux angles congrus ∠D et ∠A sont également égaux :

sin(∡D) = sin(∡A)

Remplacer sin(∡D) dans la relation trigonométrique dans le triangle rectangle △BDC:

• sin(∡D) = ^a/_{(2 × R)}
• sin(∡A) = ^a/_{(2 × R)}
• Résoudre pour 2 × R:
• 2 × R = ^a / _sin(∡A)

Appliquer la logique ci-dessus deux fois de plus, aux côtés "b" et "c", montrera que les trois rapports sont égaux à la même valeur, 2 × R:

^a / _sin(∡A) = ^b / _sin(∡B) = ^c / _sin(∡C) = 2 × R

• Exemple de calcul

• Dans un triangle △ABC, on donne les mesures de deux angles, m(∡A) = 45° et m(∡B) = 30°, et la longueur du côté BC (a) = 10. On nous demande de calculer les longueurs des deux autres côtés du triangle.
• Calculer la valeur constante (2 × R) du rapport de la longueur du côté "a" au sinus de l'angle ∠A:

Appliquer la Loi des sinus pour le côté "b" et l'angle ∠B et résoudre pour "b":

Calculer la mesure de l'angle ∠C sachant que la somme des mesures des angles d'un triangle est 180° :

Appliquer la Loi des sinus pour le côté "c" et l'angle ∠C et résoudre pour "c":