Comment démontrer la formule de calcul du rayon du cercle circonscrit d'un triangle ?

• Formule de calcul du rayon du cercle circonscrit d'un triangle

• Pour calculer R, le rayon du cercle circonscrit au triangle △ABC, appliquez la formule :
• 

  Cercle circonscrit à un triangle, de rayon R

• R = ^{(a × b × c)} / _{(4 × Aire)}
• Où :
• a, b et c sont les longueurs des trois côtés du triangle △ABC
• R est le rayon du cercle circonscrit au triangle △ABC
• L'aire est l'aire du triangle △ABC

» Comment trouver le centre du cercle circonscrit d'un triangle

• Comment démontrer la formule de calcul du rayon du cercle circonscrit ?

• Nous utilisons la Loi des sinus et la Formule trigonométrique de l'aire d'un triangle pour démontrer la formule du rayon ci-dessus.
• 1) La loi des sinus établit la relation entre les longueurs des côtés a, b et c du triangle △ABC, et les sinus des angles opposés, ∠A, ∠B et ∠C :

• [1] ^a / _sin(∠A) = ^b / _sin(∠B) = ^c / _sin(∠C) = 2 × R
• Où :
• R est le rayon du cercle circonscrit au triangle △ABC
• a, b et c sont les longueurs des trois côtés du triangle △ABC
• ∠A, ∠B et ∠C sont les angles du triangle △ABC

» Loi des sinus dans un triangle, démonstration sur le cercle circonscrit

• 2) La formule trigonométrique de l'aire déclare que l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit des longueurs de deux côtés du triangle et du sinus de l'angle qui les sépare :
• 

  Comment démontrer la formule de calcul du rayon du cercle circonscrit ?

• [2] Aire = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)
• Où :
• b et c sont les longueurs de deux des côtés du triangle △ABC
• ∠A est l'angle entre les côtés de longueurs b et c

» Comment calculer l'aire d'un triangle, étant donné les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle qui les sépare. Formule trigonométrique

De la relation [1], de la loi des sinus, on peut déduire la formule du sinus de l'angle ∠A :

[3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}

Substitut de sin(∠A) dans la relation [2], de la formule trigonométrique de l'aire :

Résolvez R dans la relation ci-dessus, de l'aire, et ainsi la formule de calcul du rayon du cercle circonscrit d'un triangle est démontrée :

R = ^{a × b × c}/_{(4 × Aire)}