Sinus et Arcsinus dans un triangle rectangle

• Définitions

• Définition 1 : Le sinus - Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle représente le rapport du côté opposé à cet angle à l'hypoténuse.
• sin(∠A) = ^a/_b
• 

  Sinus et arc sinus

• Définition 2 : Arcsin (l'arc sinus) - C'est l'inverse de la fonction mathématique sinus standard. Alors que la fonction sinus prend un angle et renvoie le rapport correspondant, l'arcsin prend un rapport et renvoie l'angle correspondant.
• Puisque sin et arcsin sont des fonctions inverses, arcsin(sin(∡A)) = ∡A. Si on applique la fonction arcsin à l'égalité ci-dessus :
• sin(∡A) = ^a/_b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(^a/_b) <=>
• ∡A = arcsin(^a/_b) =>
• arcsin(^a/_b) = mesure de l'angle ∡A

• Le sinus des angles supplémentaires

• Définition : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180 degrés (π radians).
• Exemple : Un angle de 110° est supplémentaire à celui de 70°, car 110° + 70° = 180°.
• Formule sinusoïdale des angles supplémentaires :

sin(180° - θ) = sin(θ)

• Comment prouver cette formule ?
• Sur le système d'axes orthogonaux xOy nous avons le cercle de centre O et de rayon r.
• On choisit le point A sur le cercle pour que la mesure de l'angle que fait le segment OA avec l'axe Ox soit égale à θ. C est la projection du point A sur l'axe Ox, c'est-à-dire que AC est perpendiculaire à Ox. => Dans le triangle rectangle △AOC, la mesure de l'angle ∡AOC est m(∡AOC) = θ.
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  Le sinus des angles supplémentaires

• On choisit le point B sur le cercle pour que la mesure de l'angle que fait le segment OB avec l'axe Ox soit égale à (180° - θ). D est la projection du point B sur l'axe Ox, c'est-à-dire que BD est perpendiculaire à Ox. => Dans le triangle rectangle △BOD, la mesure de l'angle ∡BOD est m(∡BOD) = θ.
• Les triangles rectangles △AOC et △BOD sont congrus (angle, θ, hypoténuse, r) => AC congru à BD, AC ≅ BD.
• Les sinus des angles ∡AOC et ∡BOC sont :

Mais BD = AC (ils ont la même longueur, étant des segments congrus et sont dans des quadrants similaires en termes de Ox).

• => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = ^AC/_r = sin(θ)
• => sin(180° - θ) = sin(θ)

• Exemples de calculs

• Exemple 1 : Calcul du sinus
• Dans un triangle rectangle qui a la mesure de l'angle ∡B = 90°, la longueur du côté b = 10 (le côté opposé à l'angle ∡B) et la longueur du côté a = 4 (le côté opposé à l'angle ∡A), le sinus de l'angle ∠A est calculé comme :
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  Sinus et arc sinus

sin(∠A) = ^a/_b = ⁴/₁₀ = ²/₅ = 0,4

• Exemple 2 : Calcul de l'arc sinus
• Dans un triangle rectangle qui a la mesure de l'angle ∡B = 90°, la longueur du côté b = 10 (le côté opposé à l'angle ∡B) et la longueur du côté a = 4 (le côté opposé à l'angle ∡A), la mesure de l'angle ∡A est calculée comme suit :
• arcsin(sin(∠A)) = mesure de l'angle ∡A = arcsin(^a/_b) = arcsin(⁴/₁₀) = arcsin(²/₅) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.